Здравствуйте, существует ли слово "бдить", каково его значение, и чем оно отличается от значения слова "бдеть"?

Здравствуйте! Задаю вопрос второй раз. Наверное, он сложный, но, уверена, ответ на него будет полезен не только мне. С какой буквы пишутся слова автора после прямой речи, если они не являются отдельным предложением и в них нет слов "сказал", "спросил" и так далее, а есть глаголы действия и к ним можно добавить слова "с этими словами", "говоря это". 1. – Я же говорила, – гордая мама подпёрла бока руками. 2. – Видишь, как всё хорошо складывается, – заметила мама одну совершенно не треснутую бутылку. – Будем считать, что нам повезло. 3. – День получки! – сторож похлопал себя по карману. 4. – Вообще-то я думал, что ты пойдешь со мной, – Иван с надеждой посмотрел на Сашу. 5. – А бог его знает. Приедет раз в неделю, заказ мне сделает и – в город, – бдительный Никита не забывал следить, чтобы гость угощался.

здравствуйте! вопрос:есть ли у слов "будка" и "будить" общие этимологические корни?