Употребление слова ядерный в значении 'центральный, важнейший, главный' стало привычным, поэтому кавычки не нужны.
Корректное оформление: 4-ядерный. Может быть, лучше написать буквами: четырехъядерный.
Правильно: четырехъядерный. Написание можно проверить в «Искать на Грамоте», набрав *ядерный.
Правильно: двухъядерный и 2-ядерный.
Правильно: двухъядерный. В сложных словах после начальных частей двух-, трех-, четырех- перед буквами Я, Ю, Ё, Е пишется Ъ.
Верно: Сторонники единой Кореи грезят, что она будет иметь ядерное вооружение, как КНДР, и будет богатой, как Сеул.
Дефисное написание части ядерно- рекомендовано не только в словаре Б. З. Букчиной, но и в «Русском орфографическом словаре» РАН. Объясняется такое написание, вероятно, наличием суффикса -н- и сложившейся традицией писать подобные слова (большинство из них являются терминами) через дефис. Подробнее о проблеме слитных и дефисных написаний и особенностях словаря «Слитно? Раздельно? Через дефис?» можно прочитать в ответе на вопрос № 285801.