Правильно: открытий.
Корректно: ждем новых открытий.
Слова на первый взгляд в этих предложениях являются вводными и выделяются запятыми. Подробнее см. в "Справочнике по пунктуации".
Корректно: требует открытия.
Верно: открытие четырех детских садов.
Корректно: слабоуправляемое.
Правильно: об открытии. Слова на -ий, -ия, -ие склоняются особым обрзом. В пр. падеже в них пишется окончание -и: об акации, о лектории, об открытии. Подробнее о склонении таких существительных можно прочитать в учебнике Е. И. Литневской «Русский язык: краткий теоретический курс для школьников».
Верно: скоро открытие магазина «Продукты»; скоро открытие продуктового магазина.
Нет оснований для использования прописной буквы.