Для точного ответа требуется контекст. Скорее всего, кавычки нужны, так как словарное значение слов живой уголок — "специальное место (обычно в учреждении), где содержатся животные, птицы", а в Вашем случае эти слова используются в особом, условном значении. Кавычки точно нужны, если Вы хотите подчеркнуть ироническое значение этого сочетания.
Верно: постановлЕния, сжИженным, мировОго, перепелА, прИгородных, уголОк, корреспондЕнтами.
1. Если речь идет о печати, которая ставится на подписи только первого руководителя, то корректно: Печать ставится на подписи только первого руководителя.
2. Предложение составлено правильно.
Первая часть сложных слов фото... пишется слитно: фотозона.
Литературная норма современного русского языка: Эдем (библ.) и эдем (благодатный уголок земли); эдемский.