Наречие тут является разговорным (но не сленговым) и уместно в непринужденной речи. В стилистически нейтральных и официальных текстах следует использовать слово здесь.
— Чего?
— Не чегокай мне тут!
Правильно: Сначала я не поняла, при чём тут Нижний Новгород. Обособляется придаточное предложение.
Пишется раздельно: При чем тут я?
Верно: Надо значит надо — и всё тут.
В большинстве контекстов слова тут и здесь синонимичны, разница между ними стилистическая: слово здесь нейтральное, тут – разговорное. Подробный ответ другу Вы сможете дать, воспользовавшись толковым словарем.