Сочетание соблюдать спокойствие не ошибочно, но всё-таки и не вполне удачно. Соблюдать – 1) строго придерживаться чего-либо, в точности выполнять что-либо (соблюдать дисциплину, соблюдать диету, соблюдать приличия), 2) тщательно оберегать; поддерживать (соблюдать достоинство, соблюдать чистоту, соблюдать тишину). Сохранять (в рассматриваемом значении) – продолжать оставаться в каком-либо положении, состоянии, не утрачивать, не лишаться каких-либо качеств, свойств (сохранять спокойствие, сохранять невозмутимость, сохранять равновесие).

Таким образом, предпочительно: сохранять спокойствие (т. е. «продолжать быть спокойными, не утратить спокойствие»).

Корректны оба варианта: сохранять спокойствие и сохранять хладнокоровие. Оба сочетания зафиксированы словарями русского языка.

Это выражение устойчивым не является.

Возможна как форма единственного числа сказуемого, так и форма множественного числа.

Оба варианта верны.

Конструкции с частицей НЕ входят в восклицательные предложения, в которых часто присутствует частица только. Такие предложения - по форме отрицательные - по содержанию всегда содержат утверждение: О чем только не думал он! (думал обо всем).
Конструкции с частицей НИ (часто с предшествующей частицей бы) всегда являются частью уступительных придаточных предложений: Что бы ни случилось, надо сохранять спокойствие.
См. Правила.