Употребление сочетания очень сильно не нарушает литературную норму. Слова очень и сильно не являются взаимоисключающими.
Знак препинания после слова вижу нужен. Возможные варианты: Вижу: сильно прыгнули вверх. Вижу – сильно прыгнули вверх. Вижу, сильно прыгнули вверх.
Можно, но нужна запятая: Он искренне, сильно полюбил ее.
Оба варианта верны стилистически нейтральны. Согласно словарям, одно из значений слова сильно — 'очень'.
В придаточном уступительном предложении: Как бы сильно ветер ни дул.
Сильно мечтать не вполне корректно. Правильно: страстно мечтать.
Предпочтительно: сильно. В «Большом орфоэпическом словаре русского языка» М. Л. Каленчук, Л. Л. Касаткина, Р. Ф. Касаткиной (М., 2012) указан в качестве допустимого вариант сильно, но другими словарями он запрещается.
Правильно раздельное написание: сильно выраженный.
Оба варианта будут корректными. Если исключить слово сильно, смысл предложения вообще не изменится: Муму очень привязалась к Герасиму.