Пунктуация верна.
Можно проверить при помощи однокоренного слова - посвЕркивать.
Слово сверчок состоит из корня и нулевого окончания. Исторически связано с глаголами сверкать, диалектным сверчать 'стрекотать' (о сверчке). Информация доступна здесь.
Да, это общие второстепенные члены для двух частей сложного предложения. Запятая не требуется.
Запятые не нужны. Если два однородных члена предложения с союзом и образуют тесно связанную по смыслу пару, соединенную союзом и с третьим однородным членом, запятые не ставятся: На огромном расстоянии разлёгся город и тихо пламенел и сверкал синими, белыми, жёлтыми огнями (парная группа пламенел и сверкал).