См. в Проверке слова.
Утилизировать - значит использовать после переработки. Как можно использовать "бывший" снег?
Корректно: политологи ломают голову.
Правильно: Численность коров составила пятьдесят одну голову.
Нет, не нужно.
Возможны оба варианта (с учетом контекстных различий).
Это устойчивое выражение, поэтому употребляется форма ед. ч. даже по отношению к нескольким лицам: Не сносить тогда вам головы.