Верно: новогодние и рождественские праздники.
Корректно написание со строчной буквы.
Правильно: о Виталии, Василии, Валерии. На конце слова в предложном падеже пишется И - такова особенность существительных, оканчивающихся на ие, ия, ий.
Слово Рождественский пишется с большой буквы, если начинает собой сочетания, связанные с Рождеством как христианским праздником, с церковным календарем (т. е. имеющие прямую связь с религией), например: Рождественская звезда (библ.), Рождественская ночь, Рождественский пост, Рождественский сочельник. Но ср. написание строчными в таких сочетаниях: рождественские морозы, рождественские каникулы.
Правильно: Рождественские чтения (с прописной буквы как собственное наименование).
Словарь русских имён
[Римск. родовое имя Valerius. От лат. valeo — быть сильным, здоровым.]
Верно: Алитойтю.
Слово НАТО может употребляться как существительное мужского или среднего рода.
Существуют оба варианта отчества.
Судя по информации в открытых источниках, все четыре слова входят в название труппы, поэтому корректно: «Свободный балет Валерия Терёшкина» и «Свободный балет» (как сокращенное название).