Корректно: рисунок "в елочку".
Корректно: И не мешкая отправляйте рисунок на конкурс. Деепричастие не выделяется запятыми, так как оно близко по значению к наречию (не мешкая = немедленно, быстро).
Необходимо двоеточие: Он был твердо убежден: рисунок должен взывать больше к эмоциям, чем к разуму. Двоеточие ставится в бессоюзном сложном предложении, если вторая часть имеет изъяснительное значение (между частями предложения можно вставить слово что).
Корректно: А может, ваш ребенок захотел...
Здесь запятая не требуется.
Правильно: тканый узор (т. е. узор, который был выткан).
Лучше без запятой.
Корень рис-.
Правильно: рисунок резиновой подошвы, не оставляющей следов.