Может быть, вайя (если Вы имеете в виду вербу, освящаемую на Вербное воскресенье)?
Корректно: Папоротник собирают именно в это время - в мае и начале июня, когда листья ещё не распустились.
Запятую нужно поставить, чтобы подчеркнуть уточняющий характер сочетания на рассвете.
Это главная часть сложноподчиненного предложения. Придаточная связана с ней с помощью союза что.