Нет, названия районов в кавычки не заключаются: район Бескудниково.
Следует писать с большой буквы: Анапский район.
Корректно: был переведен в ключевой район.
Верно: Западно-Сахалинский район.
Оба названия пишутся с большой буквы: Центральный экономический район, Центральный регион.
Корректно: Гаврилово-Посадский район.
Корректно дефисное написание, так как прилагательное образовано от названия населенного пункта, включающего имя и фамилию (Бободжан Гафуров). Ср.: Лев-Толстовский район (от названия поселка Лев Толстой). См. также правило (пункт 3).