Корректно: Центр досуга «Радуга» прежде всего дом для молодежи.
Есть две версии происхождения слова радуга: 1) переоформление слова райдуга, которое является сложением слов рай и дуга (ср. жар-птица); в таком случае радуга буквально 'пестрая дуга' (ср. диал. раек 'радужная оболочка глаза'); 2) производное от основы рад-.
Да, запятая ставится: Радуга, сияющая на небе, – настоящее чудо!
Название в кавычках не склоняется: Добро пожаловать на информационный портал муниципального казенного учреждения «Центр воспитательной работы "Радуга"». Ср.: гастроли театра «Современник» (не театра «Современника»).
Согласно орфографическому словарю, в подобных случаях следует писать раздельно: При чем тут радуга?
Запятая не нужна. Но смысл предложения понять сложно, к нему надо «продираться» сквозь нагромождение слов. Попробуйте сказать проще.