Термин международного права: преступление против человечности (англ. humanity). Но в словарях и энциклопедиях также отмечается перевод преступление против человечества.

Можно возражать против чего-л. и на что-л.

Верно: против бывшего госсекретаря Хиллари Клинтон.

Верно: не возражать против подключения.

Верно: взвесить все за и против (с буквой Е, без кавычек).

Словари фиксируют варианты сочетаемости: бороться с чем, бороться против чего. Аналогично: борьба с чем и против чего. Но все же более употребительно: борьба со злом.

Верно: не возражаю против.

Если эти слова употребляются как часть официального названия государства, правильно с прописных, например: против Исламской Республики Иран. Если же они выступают в обобщенном значении 'форма государственного устройства', следует писать строчными, например: он выступал против исламской республики, за исламскую монархию.