Использование формы мн. ч. корректно.
Все три слова в этом названии пишутся с прописной: Организация Объединенных Наций.
Предпочтительно поставить двоеточие.
Заявление пишется в свободной форме. Рекомендации по оформлению заявлений см. в рубрике "Письмовник" на нашем портале: Как писать заявление?
Корректно: самых достойных студентов мы рекомендуем для прохождения практики в общественном объединении.
Вы написали правильно.
Предложение неудачно. Желательно его переформулировать.