Это обстоятельство.
Представляется более корректным считать за грибами дополнением (пошли за чем?). Но не будет ошибкой и такой разбор этого предложения, при котором слова за грибами будут выделены как обстоятельство цели (пошли с какой целью?).
Можно, например, так: обсто-ятельство; обстоя-тельство; обстоятель-ство.
Само по себе это выражение не требует постановки знаков препинания. Пунктуация в конкретных случаях зависит от строя предложения
Можно и так и так ответить. Вопрос - зачем?
Да.