Корректно: набор работников по различным специальностям, но на различные должности.

Корректно: набор из трех видов сыра.

Правильно: борщовый набор.

Если это сочетание употребляется в прямом значении (набор для приготовления борща), кавычки не нужны. Если имеется в виду список продуктов, по росту цен на которые определяют уровень инфляции, кавычки уместны.

Сочетание "открыть (открывать) набор" корректно. Лучше: открываем набор продавцов-консультантов (или набор претендентов, кандидатов на такую должность).

1. Если речь идет о нескольких предметах, входящих в набор, то можно использовать обе формы сказуемого.

2. Правильнее было бы говорить о деталях изделия.

Сказуемое, которое стоит перед однородными подлежащими, чаще ставится в форме единственного числа: В набор входит чашка объёмом 220 мл и блюдце. Однако эта рекомендация не носит категорического характера.

Лучше так: Набор высоты происходит постепенно, чем обеспечивается хорошее самочувствие участников.

Корректно: ...набор учащихся в 9-е классы или набор учащихся, окончивших 9-й класс.