Оба варианта правильны.
В названиях организаций с прописной буквы пишется первое слово и входящие в состав названия имена собственные. Правильно: Международная конфедерация союзов художников, Московский союз художников, Санкт-Петербургский союз художников.
В таких случаях используют кавычки разного рисунка: АО «Московский завод "Рубин"». Если это технически невозможно, то в конце кавычки не дублируются: АО «Московский завод «Рубин».
Слова подмосковный, московский имеют корень москов, остальные – москв. См. о суффиксе в учебнике Е. И. Литневской.
Правильно: московское «Динамо».
Да, верно, за исключением того, что название этого магазина принято заключать в кавычки.