Верно: МИД рекомендовал.
Верно: российский МИД.
Да, опорное слово в этой аббревиатуре – министерство – среднего рода. Однако из-за своего внешнего фонетического облика МИД воспринимается не как аббревиатура со стержневым словом среднего рода, а как обычное существительное мужского рода (мужской род у слова МИД зафиксирован в словарях русского языка – см., например, «Большой толковый словарь русского языка» С. А. Кузнецова, справочник Л. К. Граудиной, В. А. Ицковича, Л. П. Катлинской «Грамматическая правильность русской речи» и др.). Подобная трансформация произошла не только с МИД: форму мужского рода приобрели такие аббревиатуры, как НЭП, ВАК, ТАСС (ТАСС уполномочен заявить), вуз (верно: мой вуз, никто не скажет моё вуз) и др.
Правильно: МИД направил ноту.
В образцовой литературной речи предпочтительно: российского МИД. В разговорной речи возможно: российского МИДа.
В образцовой литературной речи предпочтительно: глава МИД. В разговорной речи возможно: глава МИДа.
Правильно: МИД объявил, ФСБ объявила.