Корректно: Треугольник является прямоугольным, если и только если квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов; Треугольник является прямоугольным тогда и только тогда, когда квадрат гипотенузы равен сумме квадратов двух катетов.

Пробелы нужны. Знаки математических действий и соотношений (+ , – , х , : , / , =) отбивают от смежных символов и чисел.

Квадрат в значении 'квадратный метр' –  разговорное употребление. Если это слово в таком значении используется в стилистически нейтральном тексте, кавычки нужны.

Здесь нет ошибки: в русском языке довольно свободный порядок слов, и части составных союзов вполне могут разделяться несколькими словами, например: Я только тогда бываю спокоен, когда она сидит у меня на коленях и я пою ей: «Ой за гаем, гаем!» (Л. Вертинская). Мы потому так подробно остановились на этой ситуации с проблемой четырех красок, что, знай о ней Витгенштейн, она привлекла бы его внимание (В. Успенский).

Оборот тогда и только тогда — специфическая формулировка, которая используется чаще всего в математике, логике и философии и часто выносится в начало предложения.

В рабочем диалоге, в непринужденной беседе (но не в образцовом литературном языке) такое употребление допустимо.

Правильно со строчной буквы, поскольку нет оснований для написания с прописной.