Правильно: в городе Елизово. Если слова город нет, возможны два варианта: в Елизове (предпочтительно) и в Елизово (допустимо).
В этом случае верно написание в кавычках: "Корпорация развития".
Ошибок нет.
Сокращенные наименования органов государственной власти пишутся с той же буквы, что и полные. В указанных случаях - с прописной.
Верно: Три объекта находятся в Республике Саха (Якутия), три — в Приморском, и один — в Камчатском крае.