Правильно: идея кого-чего.
Для точного ответа нужно знать контекст. Вне контекста лучше: идея подарка.
Правильно: Аристотелева идея.
Это слово представлено в словарях в двух вариантах: идея фикс и идефикс.
Провести квиз — несогласованное определение, образующее вместе с существительным словосочетание: идея (какая?) провести квиз. Соответственно, знаки препинания в предложении не требуются. Пунктуационное оформление несогласованных определений, выраженных инфинитивом, описано в параграфе 60 «Полного академического справочника» под ред. В. В. Лопатина (М., 2006 и след.).
Первая часть сложных слов бизнес- присоединяется дефисом: бизнес-идея.