В большинстве контекстов - заведующая.
О женщине - заведующая.
Правильно: заведующая детским садом.
Корректно: заведующая детским садом.
По идее должно быть: заведующая филиалом библиотеки.
Заведующая. Но допустимо в некоторых текстах и заведующий.
Правильно: заведующая отделом такая-то. Но: заведующим отделом назначена такая-то. Допустимо: она работает заведующим.
Название женской должности - заведующая.
Мужской род уместен в строгой деловой речи, где важно сообщить о должности безотносительно к полу (например, в приказе: назначить заведующим библиотекой Иванову...). В обиходной письменной и тем более устной речи о женщине верно: заведующая библиотекой.