Корректно слитное написание.
Запятая после думал нужна.
Корректно: Думаю: а в чем же дело?
В официальных документах принято такое написание: Государственная Дума, Московская областная Дума.
Пунктуация зависит от контекста, но чаще слова недолго думая обособляются как деепричастный оборот.
Верно слитное написание: Я думаю, что это будет неуместно.
Сочетание недолго думая запятыми выделяется, но не как вводное, а как деепричастный оборот.
Орфографически верно: городская дума. Однако в официальных текстах нередко можно встретить такое написание: Московская городская Дума. Оно принято в официальных документах, хотя противоречит орфографическим нормам.