Хотя это выглядит немного странно, но писать название, действительно, оба раза следует с прописной буквы и в кавычках.
Пунктуация корректна.
Правильное написание: сорт "дружба".
Верны оба варианта.
Верно: Женская дружба - понятие, мало изученное науками.
Правильно: дружба длиною в жизнь.
Следует либо использовать кавычки (как у Вас), либо склонять последнее слово: раскрыть понятие дружбы.
Часть предложения после запятой надо править, по-русски не говорят дружба оказалась под испытанием. Можно сказать, что дружба подверглась серьезному испытанию.