Только если День – первое слово предложения. Сочетание день рождения пишется строчными.
Учительница неправа. Правильно: на день рождения. Вообще говоря, этому сочетанию не везет, его всячески искажают: пишут с буквой е на конце, пишут слитно, употребляют как слово среднего рода (*деньрождение, с деньрождением, мое деньрождение). Всё это грубейшие ошибки. На самом деле это обычное словосочетание, такое же, как, например, День города. Главное слово – день, зависимое – рождения (день чего? рождения, родительный падеж). Правильно: день рождения, на день рождения, с днем рождения, мой день рождения.
Сочетание день рождения всегда пишется со строчной буквы.
Правильно: у Даши день рождения.
О празднике, праздновании, памятном дне - мой день рождения. О дате рождения - день моего рождения.
Правильно: день рождения.
См. в «Письмовнике». Общеупотребительный вариант: день рождения.