Стилистически нейтральная форма: высылаем двадцать три дипломата. В разговорной речи допустимо: высылаем двадцать трех дипломатов.

Корректно: целых двадцать один год.

В сочетаниях с числительным (в так называемой счетной форме) возможно: килограмм и килограммов: двадцать килограмм и двадцать килограммов. Вне таких сочетаний – только килограммов, например: заниматься подсчетом килограммов.

Верно: двадцать одно образовательное учреждение.

В зависимости от контекста требуется разное написание. О времени: шестнадцать двадцать (шестнадцать часов двадцать минут). О счете в спортивной игре: шестнадцать - двадцать. При перечислении: шестнадцать, двадцать.

Верно: освободить двадцать четыре заложника.

Числительное двадцать два не согласуется со словом сутки в именительном падеже.

В конструкциях с составными числительными, оканчивающимися на два, три, четыре, винительный падеж сохраняет форму именительного независимо от категории одушевленности. Литературная норма: прослушать двадцать два певца. Вариант прослушать двадцать двух певцов – разговорный.

Если имеется в виду "одну минуту двадцать секунд", то верно: Ролик идет минуту двадцать.