Предпочтительно: внутрь. Вариант вовнутрь разговорно-просторечный.
Общеупотребительно: внутрь. Вариант вовнутрь разговорный (это слово пишется слитно).
Правильно: двери открываются внутрь.
Правильно: внутрь.
Правильно: пройти внутрь квартала.
По нажатии = после нажатия. По нажатию = при помощи нажатия. Лучше написать: нажав кнопку, мы попали внутрь.
Вторая фраза некорректна. В первом случае лучше: войти в автобус.
Такое написание неправильно. Либо внутрь (общеупотребительный, предпочтительный вариант), либо вовнутрь (разговорное употребление).