В обоих случаях перед и снова в путь лучше поставить тире.
Существительное обсчет может обозначать действие по глаголам обсчитать и обсчитаться. В свою очередь, у глагола обсчитать есть два значения: 1. Умышленно неверно сосчитав, недодать. 2. (Спец.) Произвести подсчет чего-л., просчитать что-л.
В данном случае подходит второе значение. На это указывает и сочетаемость слова: оно используется с дополнением заказа. Если бы речь шла о неверном подсчете, такого сочетания не могло быть (автор написал бы: обсчет покупателя или что-то подобное).
Таким образом, быстрый обсчет заказа — это профессионализм, означающий быструю обработку (расчет) заказа.
Воспользуйтесь пособием Е. И. Литневской «Русский язык: краткий теоретический курс для школьников».
Правильно: нарочным, с нарочным. Нарочный – имя существительное, его значение: 'тот, кто послан куда-л. со срочным известием, поручением; гонец, курьер' (отправить с нарочным = отправить с курьером). Слова нарочно, образованного от существительного нарочный, не существует; есть наречие нарочно ('с определенной целью; назло; для вида'), оно и зафиксировано в словарях.
Большой толковый словарь
Правильно: быстро меняющийся мир.
В значении 'затвердеть, застыть (о вяжущих, клейких веществах)' употребляется глагол схватиться: клей быстро схватывается.
Спешил быстро? Может быть, спешил ответить или хотел (старался) ответить быстро?