Да, это глагол. Но надо помнить, что в форме бывало он может употребляться в функции вводного слова: Я, бывало, // Хранила в памяти не мало // Старинных былей, небылиц // Про злых духов и про девиц… А. Пушкин, Евгений Онегин.
Оба варианта верны.
Правильно: Бывало, они вместе собирались за чаем. Им бывало весело.
Правильно: Чего только не бывает!
Грамматически обе фразы верны, Вам нужно выбрать подходящий вариант в зависимости от Вашего контекста.
Имеется в виду опытный преподаватель? Или Вы вкладываете в это сочетание какой-то иной смысл?
Лучше: Этого не бывает.