Запятая обязательна: Здравствуйте, Мария Семеновна!
В подписи уместен женский род: заведующая сектором Мария Ивановна Сидорова. Мужской род – в строгой деловой речи, в официальных документах.
Правильно: Мария, Марии, Марии, Марию, Марией, о Марии.
Предпочтительно: государственный советник Мария Гайдар утверждала.
Это название не склоняется. Правильно: слушать Аве Мария.
Вы правы, формы совпадают.
Верно с запятой.
Правильно: Марии.