Запятая ставится.
Да, написание верное.
Нет, правильно именно слитное написание. Отрицательное местоимение ничто пишется слитно.
Существительное стоит в форме винительного падежа.
Пунктуация верна.
Слово луна не употребляется здесь в терминологическом значении, поэтому пишется строчными: ничто не вечно под луной.
Оба варианта возможны.