В большинстве контекстов - заведующая.
О женщине - заведующая.
Правильно: заведующая отделом такая-то. Но: заведующим отделом назначена такая-то. Допустимо: она работает заведующим.
Правильно: заведующая детским садом.
По идее должно быть: заведующая филиалом библиотеки.
Заведующая. Но допустимо в некоторых текстах и заведующий.
Корректно: заведующая детским садом.
Правильно: заведующая кафедрой Иванова.
Название женской должности - заведующая.