Запятая не нужна.
Верно: бежать за самолетом (каким?), совершающим рейс.
Правильно – так, как уже зафиксировано в паспорте. Паспорт менять, конечно, не надо. Но нужно внимательно следить, чтобы во всех документах имя было написано так же, как в паспорте.
Корни АУ и БАЮ.