Корректно: диагноз «сахарный диабет».
Кавычки нужны.
Слова из песни на стихи Е. Винокурова: «Но помнит мир спасенный...»
Корректно: Он принял имя Моисей, что значит «спасенный».
Общеупотребительно выражение спаренный телефон.
Правильно: скачанный фильм.