Словарной фиксации нет.
Нет.
Оба варианта неудачны. Законодательная и исполнительная власть - это и есть две ветви власти.
Пунктуация верна.
Пунктуация корректна.
Наречие как-то пишется через дефис, в том числе в значении 'неясно как, хорошо или плохо'; в конце предложения лучше поставить вопросительный знак: Как-то привьется побег православия на новой ветви?