Верно: я пылесошу (но эта форма, действительно, используется редко).
Речь идет о птичке Тари?
В таких случаях ставится только запятая: Люди забывают пример человека, который обратился с просьбой к Иисусу: "Если хочешь, можешь меня очистить", предоставляя Ему самому решить это. И тогда Иисус произнес: "Хочу, очистись", после чего проказа пропала.
Верное написание - мостить, но лучше написать примостить (поместить сбоку, с краю и т. п.).
Кавычки не нужны.
Читайте в ответе № 179262.
Запятая между частями сложного предложения (перед союзом и) стоит верно.