У Нью-Йорка есть прозвище – "Большое яблоко". Словарной фиксации этого выражения нет. По общему правилу в образных названиях государств и городов с прописной буквы пишется первое слово (которое может быть единственным), а также (если они есть) собственные имена. Поэтому корректно: "Большое яблоко" или Город большого яблока (ср. с другим известным названием Нью-Йорка – Город желтого дьявола). Интересна история возникновения этого ...

...У Нью-Йорка есть прозвище – "Большое яблоко...

...Город большого яблока...

§ 38. Существительные с суффиксом -ищ-, если они мужского или среднего рода, оканчиваются в им. пад. ед. ч. на -е, например: домище, верблюдище, удилище, болотище. Если же они женского рода, то оканчиваются в им. пад. ед. ч. на -а, например: коровища, ручища, грязища. § 39. Существительные мужского рода с суффиксами -yшк-, -юшк-, -ишк-, -ышк-, обозначающие предметы одушевленные, а также все существительные женского рода с теми же суффиксами ...

...§ 38. Существительные с суффиксом -ищ...

...X. Гласные в некоторых неударяемых падежных окончаниях...

§ 149. Запятая ставится между одинаковыми словами, повторяющимися для обозначения длительности действия, для обозначения большого числа лиц, предметов, явлений, для усиления степени качества, а также между словами, повторяющимися для подкрепления согласия, отказа, просьбы и т. п., например: Еду, еду в чистом поле... Пушкин Зимы ждала, ждала природа. Пушкин За теми деревнями леса, леса, леса. Печерский – Скорей, скорей в город за лекарем! – кричал Владимир.

...§ 149. Запятая ставится между одинаковыми...

...IV. Запятая между повторяющимися словами...