Зайти на огонек – зайти в гости к друзьям, знакомым без предупреждения, запросто. Есть две версии происхождения этого оборота: 1) выражение связано с прежним обычаем ставить на окне зажженную свечу в знак того, что хозяева дома и к ним можно зайти; 2) на огонек значит 'на миг', т. е. на очень короткое время, достаточное, чтобы получить, зажечь огонь или только погреться.

...Зайти на огонек – зайти в гости к друзьям...

...Зайти на огонек...

С БОГОМ, междометие и наречие 1. Междометие. Обособляется или оформляется как отдельное предложение. С богом, поезжай! «Начинаем эксперимент». – «С богом!» 2. Наречие (после глаголов в форме повелительного наклонения, например: «езжай с богом», «ступай с богом» и т. п.). Не требует постановки знаков препинания. «Ты презираешь это, и прекрасно, и ступай с богом, ступай! – кричал он, вставая со стула, – и ступай, и ступай!

...С БОГОМ, междометие и наречие 1. Междометие. Обособляется...

...С богом...