Профессор кислых щей (ирон.) - о самоуверенном глупце, выскочке. Возможны две версии происхождения фразеологизма: 1) кислые щи - сорт шипучего кваса, приготовление которого не представляло особых трудностей; 2) речь идет о крестьянских щах (супе).

...Профессор кислых щей (ирон.) - о самоуверенном...

...Профессор кислых щей...

§ 11. В неударяемых слогах пишутся гласные, одинаковые с теми, которые произносятся в той же части слова (в том же корне, в той же приставке, в том же суффиксе или в том же окончании), когда эта часть стоит под ударением, например: в корнях: жара (жар), шалун (шалость), частота (частый), чистота (чистый), поласкать (ласка), полоскать (полощет), разряжать и разрядить (разряд), разрежать и разредить (редкий), поседеть (сед), посидеть (сидя)*Комментарий редакции портала Корень в словах ...

...§ 11. В неударяемых слогах пишутся гласные, одинаковые...

...V. Общие правила правописания неударяемых гласных...

Секрет Полишинеля - секрет, который всем известен, мнимая тайна. Полишинель (франц. Polichinelle, от итал. Pulcinella - Пульчинелла) - персонаж французского народного театра, горбун, весёлый задира и насмешник. Полишинель сообщал под секретом известные всем вещи. Появился на сцене ярмарочного театра в конце XVI в. В XVII веке был введён Мольером в комедию «Мнимый больной». 

...Секрет Полишинеля - секрет, который всем...

...Секрет Полишинеля...