Правило существует для конца слов. В конце иноязычных слов после как твердых, так и мягких согласных пишется буква е, напр.: алиготе, амбре, анжанте, антре, апплике, аутодафе, безе, буриме, бурре, галифе, глясе, гофре, декольте, де-юре, кабаре, канапе, карате, каре, консоме, купе, кураре, кюре, макраме, мачете, моралите, нотабене, падре, пенсне, пике, пирке, плиссе, подшофе, пюре, резюме, реноме, руте, саке, соте, суаре, сюзане, тире, удэге, форте, фрикасе, фуэте, экспозе, эмансипе, эссе (кроме удэ, мохэ).

О собственных именах в правилах русской орфографии говорится, что во многих именах иноязычного происхождения пишется буква э. Как передавать по-русски японское имя, нужно спросить у специалистов по передаче японских собственных имен. Мы можем только констатировать, что в текстах встречаются оба варианта. 

Вы правы в том, что слово амур / Амур может быть написано в зависимости от значения и с прописной, и со строчной буквы. Но основания всё же другие. Не существует вида мифологических существ амуры: в отличие от многочисленных сатиров и нимф, Амур был один – это собственное имя, имя бога любви. Правильно поэтому: изображения Амура в живописи (ср.: изображения Пушкина в живописи).

Но слово амур пишется строчными в значении 'скульптурное или живописное изображение бога любви': парк украшают многочисленные амуры (= скульптуры, изображающие Амура), на открытке красуются два амура (= два изображения бога Амура). Иными словами, значение нарицательного существительного – не 'мифологические существа', а 'изображения'.