В первом случае кавычки обязательны. В последующих вариантах постановка кавычек зависит от конкретного названия.
Оба варианта возможны.
Фиксация в академическом орфографическом словаре такова:
шенге́нский (от Шенге́н; шенге́нские соглаше́ния, шенге́нская ви́за), но: Шенге́нская конве́нция, Шенге́нская зо́на, стра́ны Шенге́нской гру́ппы
Возможны два варианта произношения: двое[шн]ик и двое[чн]ик. Первый предпочтительный, отвечающий строгой норме, второй – допустимый.
Оба варианта произношения нормативны.
Корректно с двумя Н: Все, что он говорил, было обдуманно и умно.
Мужские фамилии, оканчивающиеся на согласный, склоняются; женские – нет. Подробно о склонении фамилий см. в «Письмовнике».