Верно: при таком-то поле.
Здесь верно: поля.
Дефис не нужен. Первая часть сложных слов полу... всегда пишется слитно.
Корректно: получил название Марсова поля.
Правильно: Ямской приказ.
Лучше перефразировать, например: расширение сферы дипломатической деятельности (дипломатической сферы).