Единственно возможного варианта нет. В разных названиях сражений употребляются разные предлоги, ср.: битва при Ватерлоо, битва под Москвой, битва на Калке.
Оба варианта возможны.
Оба варианта возможны, употребление родительного падежа преобладает.
Оба варианта неудачны. Можно грамотно говорить, писать, изъясняться по-английски, по-русски.
Предпочтителен второй вариант.
Корректны оба варианта.