Следует писать слитно.
Верно: Щенок сгрыз мою тапку.
Существительное тапка женского рода (и тапочка тоже).
Правильно: одна тапка, нет обеих тапок.
Возможно склонение мужской фамилии Попок с выпадением гласного (Попка, Попку) и без выпадения гласного (Попока, Попоку). Второй вариант предпочтителен, но окончательное решение, какой тип склонения избрать, остается за носителем фамилии.
«Толковый словарь русского языка» С. И. Ожегова и Н. Ю. Шведовой дает такое определение слову вилок: 'капуста, начавшая завиваться в кочан, а также (разг.) вообще кочан капусты'. Иными словами, употребление слова вилок в значении 'кочан' возможно в разговорной речи, но вообще у этих слов не одинаковое значение, они обозначают разные стадии «жизни» капусты.
Правильно: тапка, тапочка. Это существительные женского рода: одна тапка, старая тапочка.
Сказуемое - хороший.