Правилен первый вариант. Ср.: чей? — Сонин, Яшин, Томарин.
Корректна форма мн. числа: Дети опять гуляли без шапок.
Возможны варианты слогоделения: ша-пка, шап-ка.
Существительное тапка женского рода (и тапочка тоже).
Может быть, так и написать: папка для рисунков?
В современной практике делового письма, как правило, предлог используется.
См. «Словарь трудностей».
В разных контекстах возможны оба варианта. О человеке обычно говорят: на нем была надета шапка (или просто на нем была шапка).