Правильно: чёрт-те (что, какой, где, куда и т. п.). Написание можно проверить в окне «Искать на Грамоте» (набрав черт*).
Верно: он занимался черт-те чем.
Оба варианта правильны.
Оба варианта возможны.
Действительно, смысл фразы в данном случае не равен сумме смыслов всех слов, которые эту фразу составляют.
Оба варианта правильны. См. «Письмовник».
Такова была некогда орфографическая норма.