Правильно: об Антоне Павловиче Чехове.

Да, эти названия склоняются, но не «теперь»: все подобные названия изначально были склоняемыми, и лишь относительно недавно распространился несклоняемый вариант. Подробнее см. в «Письмовнике».

Правильно: чеховцы, чеховец. Именно такой вариант фиксируют нормативные словари – «Русский орфографический словарь» РАН под ред. В. В. Лопатина и О. Е. Ивановой (4-е изд., М., 2012), а также словарь И. Л. Городецкой, Е. А. Левашова «Русские названия жителей» (М., 2003) – самый полный справочник по названиям жителей.

Для обозначения жительницы лучше использовать описательную конструкцию: жительница Чехова. Нормативного однословного наименования нет.

Оба варианта верны.

Предпочтительная форма: погибло 30 человек, погибло много людей.

Оба варианта возможны. О факторах, влияющих на выбор формы сказуемого, см. в «Письмовнике».

Оба варианта правильны.

Оба варианта возможны. Подробные рекомендации см. в «Письмовнике».

Верно: погиб 81 человек.