Чайку здесь – особая форма родительного падежа со значением ограниченного количества. См. также ответ на вопрос № 264234.
Эта фамилия склоняется таким же образом, как и нарицательное существительное чайка.
Правильно: чаячий, напр.: чаячий крик, чаячье гнездо.
Самый простой способ - обратить внимание на то, что значения этих слов не пересекаются.